《完全平方公式》测试题（含答案）

在数学学习中，掌握基本的代数公式是至关重要的一步。其中，完全平方公式作为代数中的基础公式之一，不仅在数学运算中频繁出现，还广泛应用于物理、工程等领域。为了帮助大家更好地理解和应用这一公式，本文特别整理了一份《完全平方公式》测试题，并附有详细的答案解析。

完全平方公式的定义

完全平方公式是指两个数的和或差的平方展开形式，其公式如下：

- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

这两个公式在解题时能够大大简化计算过程，因此熟练掌握它们是非常必要的。

测试题部分

题目1

计算 \((3x + 4y)^2\) 的结果。

题目2

化简 \((5a - 2b)^2\)。

题目3

已知 \(m + n = 7\) 且 \(mn = 10\)，求 \((m + n)^2\) 的值。

题目4

若 \(x^2 + y^2 = 13\) 且 \(xy = 6\)，求 \((x + y)^2\) 的值。

题目5

分解因式：\(9x^2 - 12xy + 4y^2\)。

答案解析

题目1 解析

根据完全平方公式 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，将 \(a = 3x\) 和 \(b = 4y\) 代入得：

\[

(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2

\]

题目2 解析

同样利用公式 \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，将 \(a = 5a\) 和 \(b = 2b\) 代入得：

\[

(5a - 2b)^2 = (5a)^2 - 2(5a)(2b) + (2b)^2 = 25a^2 - 20ab + 4b^2

\]

题目3 解析

根据完全平方公式 \((m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2\)，已知 \(m + n = 7\) 和 \(mn = 10\)，则：

\[

(m + n)^2 = 7^2 = 49

\]

题目4 解析

已知 \(x^2 + y^2 = 13\) 和 \(xy = 6\)，利用公式 \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\) 可得：

\[

(x + y)^2 = 13 + 2(6) = 25

\]

题目5 解析

观察到 \(9x^2 - 12xy + 4y^2\) 可以写成 \((3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2\)，因此它符合完全平方公式的形式，分解后为：

\[

9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2

\]

总结

通过以上测试题及解析，我们可以看到完全平方公式在实际问题中的广泛应用。希望这份练习能帮助大家加深对这一公式的理解，并在今后的学习中灵活运用。

希望这篇文章能满足您的需求！如果还有其他问题，请随时告诉我。