高等数学是许多学科的基础，它涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个领域。为了帮助大家更好地掌握高数知识，这里整理了一份基本公式大全，希望能对学习者有所帮助。
一、极限与连续
1. 极限的定义
设函数 \( f(x) \) 在某点 \( x_0 \) 的邻域内有定义（除可能在 \( x_0 \) 处外）。若当自变量 \( x \) 趋近于 \( x_0 \) 时，函数值 \( f(x) \) 趋近于某一确定的常数 \( A \)，则称 \( A \) 为函数 \( f(x) \) 当 \( x \to x_0 \) 时的极限，记作：
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = A
\]
2. 极限的四则运算
如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 和 \(\lim_{x \to x_0} g(x) = B\) 存在，则有：
- 加减法：\(\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)
- 乘法：\(\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)
- 除法：\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\) （\( B \neq 0 \)）
3. 连续性的定义
若函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处满足以下条件，则称 \( f(x) \) 在该点连续：
1. 函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处有定义；
2. \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在；
3. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)。
二、导数与微分
1. 导数的定义
函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处的导数定义为：
\[
f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
\]
若此极限存在，则称 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处可导。
2. 常见导数公式
- 幂函数：\((x^n)' = n x^{n-1}\)
- 指数函数：\((a^x)' = a^x \ln a\)
- 对数函数：\((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\)
- 正弦函数：\((\sin x)' = \cos x\)
- 余弦函数：\((\cos x)' = -\sin x\)
3. 微分公式
微分是导数的一种形式表示，记作 \( df = f'(x) dx \)。例如：
- 若 \( y = x^n \)，则 \( dy = n x^{n-1} dx \)。
- 若 \( y = e^x \)，则 \( dy = e^x dx \)。
三、积分
1. 不定积分的定义
不定积分是求原函数的过程，记作：
\[
\int f(x) dx = F(x) + C
\]
其中 \( F'(x) = f(x) \)，\( C \) 为任意常数。
2. 常见积分公式
- 幂函数：\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) （\( n \neq -1 \)）
- 指数函数：\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
- 对数函数：\(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)
- 正弦函数：\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
- 余弦函数：\(\int \cos x dx = \sin x + C\)
3. 定积分的几何意义
定积分可以看作曲线与坐标轴围成的面积。若 \( f(x) \geq 0 \) 在区间 \([a, b]\) 上，则：
\[
\int_a^b f(x) dx
\]
表示由曲线 \( y = f(x) \)、直线 \( x = a \)、\( x = b \) 和 \( y = 0 \) 围成的图形的面积。
四、微分方程
1. 一阶线性微分方程
形如：
\[
y' + p(x)y = q(x)
\]
其通解可以通过公式求得：
\[
y = e^{-\int p(x) dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C \right)
\]
2. 可分离变量的微分方程
形如：
\[
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
\]
通过分离变量后积分得到解。
以上便是高数的基本公式大全，希望读者能够灵活运用这些公式解决实际问题。祝大家学习顺利！
