在数学分析中，分数形式的函数（即分子和分母均为变量的函数）是非常常见的一种类型。对于这类函数，我们通常需要通过求导来研究其变化规律。本文将详细介绍分数函数的求导规则，并结合实例进行说明。

首先，让我们回顾一下基本的分数函数定义：假设有一个函数 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，其中 \( g(x) \) 和 \( h(x) \) 都是关于 \( x \) 的可导函数，且 \( h(x) \neq 0 \)。根据商法则（Quotient Rule），这个函数的导数可以表示为：

\[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} \]

这个公式的核心在于区分分子和分母各自的导数，并合理地组合它们。接下来，我们将通过几个具体的例子来加深理解。

例题解析

例1：求函数 \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) 的导数。

解：应用上述公式，令 \( g(x) = x^2 + 3 \)，\( h(x) = x - 1 \)，则有 \( g'(x) = 2x \)，\( h'(x) = 1 \)。代入公式得到：

\[ f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} \]

\[ = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} \]

\[ = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \]

进一步化简分子为 \( (x - 3)(x + 1) \)，因此最终结果为：

\[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \]

例2：求函数 \( f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \) 的导数。

解：这里 \( g(x) = \sin x \)，\( h(x) = \cos x \)，所以 \( g'(x) = \cos x \)，\( h'(x) = -\sin x \)。代入公式后得：

\[ f'(x) = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} \]

\[ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

利用三角恒等式 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)，简化为：

\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \]

注意到 \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \)，因此答案为：

\[ f'(x) = \sec^2 x \]

通过以上两个例子可以看出，分数函数的求导虽然步骤较多，但只要按照商法则一步步计算，就能准确得出结果。值得注意的是，在实际操作过程中，还需要注意对分子和分母分别求导时可能引入的符号错误或计算失误。

总结来说，掌握分数函数的求导方法不仅有助于解决复杂的微积分问题，还能帮助我们更好地理解函数的变化特性。希望本文提供的思路和技巧能够对你有所帮助！