2019秋北师大版八年级上册数学练习题：第四章一次函数
在初中数学的学习中，一次函数是一个重要的章节，它不仅是代数的基础，也是解决实际问题的重要工具。本篇内容将围绕2019年秋季北师大版八年级上册数学教材中的第四章“一次函数”展开，为同学们提供一些精选练习题及解析。
一、一次函数的基本概念
一次函数的标准形式为 \( y = kx + b \)，其中 \( k \) 是斜率，表示直线的倾斜程度；\( b \) 是截距，表示直线与 \( y \)-轴的交点位置。理解这一基本公式是掌握一次函数的关键。
练习题1：
已知一次函数 \( y = 3x - 4 \)，求其图像与 \( x \)-轴和 \( y \)-轴的交点坐标。
解析：
- 当 \( y = 0 \) 时，代入方程得 \( 3x - 4 = 0 \)，解得 \( x = \frac{4}{3} \)。因此，与 \( x \)-轴的交点为 \( (\frac{4}{3}, 0) \)。
- 当 \( x = 0 \) 时，代入方程得 \( y = -4 \)。因此，与 \( y \)-轴的交点为 \( (0, -4) \)。
二、一次函数的图像性质
一次函数的图像是一条直线，其斜率 \( k \) 决定了直线的方向：当 \( k > 0 \) 时，直线从左下向右上倾斜；当 \( k < 0 \) 时，直线从左上向右下倾斜。
练习题2：
画出一次函数 \( y = -2x + 5 \) 的图像，并描述其性质。
解析：
- 斜率 \( k = -2 \)，表明直线从左上向右下倾斜。
- 截距 \( b = 5 \)，表明直线与 \( y \)-轴的交点为 \( (0, 5) \)。
- 根据两点法绘制图像：取 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \)，分别计算对应的 \( y \) 值为 \( 5 \) 和 \( 3 \)，得到两个点 \( (0, 5) \) 和 \( (1, 3) \)，连接这两点即可画出直线。
三、一次函数的实际应用
一次函数广泛应用于日常生活中的各种场景，如销售利润、路程时间等。通过建立一次函数模型，可以更直观地分析和解决问题。
练习题3：
某商品的销售价格为每件 \( 50 \) 元，成本价为每件 \( 30 \) 元。若销售量为 \( x \) 件，总利润为 \( y \) 元，请写出 \( y \) 关于 \( x \) 的一次函数表达式，并计算销售 \( 100 \) 件时的总利润。
解析：
- 每件商品的利润为 \( 50 - 30 = 20 \) 元。
- 总利润 \( y = 20x \)。
- 当 \( x = 100 \) 时，代入方程得 \( y = 20 \times 100 = 2000 \) 元。
四、综合应用题
结合以上知识点，设计一道综合应用题，帮助学生更好地巩固所学内容。
练习题4：
某出租车公司规定：起步价为 \( 8 \) 元（含前 \( 3 \) 公里），超过 \( 3 \) 公里后，每公里收费 \( 2 \) 元。试写出车费 \( y \) （单位：元）与行驶里程 \( x \) （单位：公里）之间的函数关系式，并计算行驶 \( 10 \) 公里时的费用。
解析：
- 当 \( x \leq 3 \) 时，车费为 \( y = 8 \)。
- 当 \( x > 3 \) 时，车费为 \( y = 8 + 2(x - 3) = 2x + 2 \)。
- 当 \( x = 10 \) 时，代入方程得 \( y = 2 \times 10 + 2 = 22 \) 元。
通过上述练习题的解析，相信同学们对一次函数的概念、图像性质及其实际应用有了更深的理解。希望这些内容能帮助大家在学习过程中取得更好的成绩！
