在数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，也是中考中的常考内容之一。本文将围绕一道经典的二次函数中考题目展开详细解析，帮助同学们更好地理解这一知识点。
题目描述：
已知抛物线方程为 \(y = ax^2 + bx + c\)，其顶点坐标为 \((1, -4)\)，且经过点 \((3, 0)\)。求该抛物线的表达式，并确定其与x轴的另一个交点。
解题步骤：
第一步：利用顶点公式求系数关系
根据顶点坐标公式，抛物线的顶点横坐标为 \(-\frac{b}{2a}\)。由题意可知顶点坐标为 \((1, -4)\)，因此有：
\[
-\frac{b}{2a} = 1 \quad \Rightarrow \quad b = -2a
\]
同时，顶点纵坐标为 \(-4\)，代入抛物线方程可得：
\[
-4 = a(1)^2 + b(1) + c \quad \Rightarrow \quad -4 = a + b + c
\]
将 \(b = -2a\) 代入上式，得到：
\[
-4 = a - 2a + c \quad \Rightarrow \quad c = a - 4
\]
此时，我们已经得到了两个关系式：
\[
b = -2a, \quad c = a - 4
\]
第二步：利用已知点代入求解
题目还给出了抛物线经过点 \((3, 0)\)，将其代入抛物线方程 \(y = ax^2 + bx + c\)，得到：
\[
0 = a(3)^2 + b(3) + c
\]
即：
\[
0 = 9a + 3b + c
\]
将 \(b = -2a\) 和 \(c = a - 4\) 代入上式，化简得：
\[
0 = 9a + 3(-2a) + (a - 4)
\]
\[
0 = 9a - 6a + a - 4
\]
\[
0 = 4a - 4 \quad \Rightarrow \quad a = 1
\]
第三步：确定其他系数
由 \(a = 1\) 可得：
\[
b = -2a = -2, \quad c = a - 4 = 1 - 4 = -3
\]
因此，抛物线的表达式为：
\[
y = x^2 - 2x - 3
\]
第四步：求另一交点
抛物线与x轴的交点满足 \(y = 0\)，即：
\[
x^2 - 2x - 3 = 0
\]
利用因式分解法或求根公式，可以解得：
\[
(x - 3)(x + 1) = 0
\]
\[
x = 3 \quad \text{或} \quad x = -1
\]
因此，抛物线与x轴的另一个交点为 \((-1, 0)\)。
总结：
通过以上步骤，我们成功求得了抛物线的表达式 \(y = x^2 - 2x - 3\)，并确定了其与x轴的另一个交点为 \((-1, 0)\)。这道题综合考查了顶点公式、待定系数法以及一元二次方程的解法，是中考中常见的经典题型。
希望本文的解析能帮助大家更好地掌握二次函数的相关知识！
