在初中数学的学习过程中，一元二次方程是一个重要的知识点，它不仅贯穿了代数的核心部分，还为后续学习更复杂的数学问题打下了坚实的基础。为了帮助同学们更好地掌握这一章节的内容，我们特别整理了一组精选的一元二次方程练习题，并附上详细的答案解析。
一、基础知识回顾
在开始练习之前，让我们先快速回顾一下一元二次方程的基本概念和解法：
1. 定义：一元二次方程的标准形式为 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。
2. 求根公式：对于标准形式的一元二次方程，其解可以通过求根公式计算得出：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
3. 判别式：判别式的值决定了方程根的情况：
- 当 \( b^2 - 4ac > 0 \)，方程有两个不相等的实数根；
- 当 \( b^2 - 4ac = 0 \)，方程有两个相等的实数根；
- 当 \( b^2 - 4ac < 0 \)，方程没有实数根。
二、精选练习题
以下是一些精心挑选的一元二次方程练习题，适合初中阶段的学生进行巩固练习。
1. 解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
2. 解方程 \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)
3. 已知方程 \( x^2 - 4x + k = 0 \) 的一个根是 \( x = 2 \)，求 \( k \) 的值。
4. 若方程 \( x^2 - mx + n = 0 \) 的两个根分别是 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2 = 3 \)，求 \( m \) 和 \( n \) 的值。
5. 某一物体从高处自由下落，其高度 \( h(t) \) 随时间 \( t \) 变化的函数关系为 \( h(t) = -5t^2 + 20t + 15 \)。问何时物体的高度为零？
三、答案与解析
1. 对于方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，我们可以使用因式分解法来求解：
\[
(x - 2)(x - 3) = 0
\]
因此，方程的解为 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
2. 对于方程 \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)，我们应用求根公式：
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}
\]
解得 \( x = \frac{1}{2} \) 或 \( x = -2 \)。
3. 已知 \( x = 2 \) 是方程 \( x^2 - 4x + k = 0 \) 的一个根，则将其代入方程可得：
\[
2^2 - 4 \cdot 2 + k = 0 \implies 4 - 8 + k = 0 \implies k = 4
\]
4. 根据根与系数的关系，若两根分别为 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2 = 3 \)，则：
\[
m = x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4, \quad n = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3
\]
5. 将 \( h(t) = 0 \) 代入方程 \( -5t^2 + 20t + 15 = 0 \)，并化简得到：
\[
-t^2 + 4t + 3 = 0 \implies t^2 - 4t - 3 = 0
\]
使用求根公式解得：
\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}
\]
因此，物体的高度为零的时间为 \( t = 2 - \sqrt{7} \) 秒或 \( t = 2 + \sqrt{7} \) 秒。
通过以上练习题的解答，希望同学们能够更加熟练地掌握一元二次方程的解法及其实际应用。继续努力，相信你们会在数学学习的道路上取得更大的进步！
