线性代数是大学数学课程中非常重要的一部分，尤其对于理工科的学生来说，它不仅是理论学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握这一学科的核心知识，我们精心准备了这份大一线性代数期末试题（卷），并附上详细的答案解析。
一、选择题
1. 设向量组 \( \alpha_1 = (1, 2, 3) \)，\( \alpha_2 = (4, 5, 6) \)，\( \alpha_3 = (7, 8, 9) \)，则该向量组是否线性相关？
A. 线性无关
B. 线性相关
C. 无法判断
D. 以上都不对
解析：
我们可以通过计算行列式来判断向量组是否线性相关。构造矩阵：
\[
A =
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
\]
计算行列式 \( |A| \)：
\[
|A| = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 4(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) + 7(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)
\]
经过计算可得 \( |A| = 0 \)，因此向量组线性相关。正确答案为 B。
2. 已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，求其特征值。
A. \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 \)
B. \( \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 4 \)
C. \( \lambda_1 = -1, \lambda_2 = 5 \)
D. \( \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 2 \)
解析：
特征值的求解公式为 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)。首先构造矩阵 \( A - \lambda I \)：
\[
A - \lambda I =
\begin{bmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{bmatrix}
\]
行列式为：
\[
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3
\]
解方程 \( \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \)，得到 \( \lambda_1 = 1 \) 和 \( \lambda_2 = 3 \)。正确答案为 A。
二、填空题
1. 若矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则其逆矩阵 \( A^{-1} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
解析：
根据逆矩阵的公式 \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \)，首先计算行列式 \( \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \)。伴随矩阵为：
\[
\text{adj}(A) =
\begin{bmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}
\]
因此：
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot
\begin{bmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
1.5 & -0.5
\end{bmatrix}
\]
2. 若向量 \( \mathbf{v} = (x, y, z) \) 满足正交条件 \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0 \)，其中 \( \mathbf{u} = (1, 1, 1) \)，则 \( x + y + z = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
解析：
正交条件 \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0 \) 可表示为：
\[
x \cdot 1 + y \cdot 1 + z \cdot 1 = 0
\]
即 \( x + y + z = 0 \)。正确答案为 \( 0 \)。
三、解答题
1. 已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求其秩。
解析：
矩阵的秩等于其非零行的数量或列的数量。通过初等行变换将矩阵化为阶梯形：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1}
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
0 & -2
\end{bmatrix}
\]
化简后矩阵有两个非零行，因此矩阵的秩为 2。
2. 设向量组 \( \alpha_1 = (1, 0, 1) \)，\( \alpha_2 = (0, 1, 1) \)，\( \alpha_3 = (1, 1, 2) \)，判断其是否可以构成一个基。
解析：
向量组能否构成基的关键在于它们是否线性无关且张成整个空间。通过计算行列式：
\[
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\]
计算行列式 \( |A| \)：
\[
|A| = 1(2 - 1) - 0(0 - 1) + 1(0 - 1) = 1 - 1 = 0
\]
因为行列式为零，向量组线性相关，不能构成基。
通过以上题目和解析，我们可以看到线性代数中的核心概念和方法在实际问题中的应用。希望这份试题能帮助大家巩固知识点，并在期末考试中取得好成绩！
