【高二数学试题答案及解析】在高中阶段，数学作为一门基础学科，对学生的逻辑思维、分析能力和计算技巧都有着较高的要求。尤其是高二年级，课程内容逐渐加深，知识点也更加复杂，因此掌握好每一阶段的数学知识尤为重要。本文将针对一份高二数学试题进行详细的答案解析，帮助学生更好地理解题目的解题思路和方法。
一、选择题部分解析
题目1：
已知集合 $ A = \{x | x^2 - 4x + 3 < 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无限个
答案：C
解析：
首先解不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $。
将其因式分解得：
$$
(x - 1)(x - 3) < 0
$$
根据二次函数图像，该不等式的解集为 $ 1 < x < 3 $，即区间 $ (1, 3) $。
由于题目中没有限定 $ x $ 是整数，因此该区间内包含无限多个实数，但若题目隐含的是“整数解”，则只有 $ x = 2 $，所以答案是 C。
题目2：
设 $ a > 0 $，且 $ \log_2 a = 3 $，则 $ a $ 的值为（ ）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 12
答案：B
解析：
根据对数的定义，$ \log_2 a = 3 $ 表示 $ 2^3 = a $，即 $ a = 8 $。
二、填空题解析
题目3：
已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，向量 $ \vec{b} = (3, -1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = $ ______。
答案：1
解析：
向量点积公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1
$$
题目4：
若函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $，则 $ f(2) = $ ______。
答案：3
解析：
先化简函数：
$$
f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad (x \neq 1)
$$
代入 $ x = 2 $ 得：
$$
f(2) = 2 + 1 = 3
$$
三、解答题解析
题目5：
已知三角形 $ ABC $ 中，角 $ A = 60^\circ $，边 $ AB = 4 $，边 $ AC = 5 $，求边 $ BC $ 的长度。
答案：$ \sqrt{21} $
解析：
使用余弦定理：
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A
$$
代入数据：
$$
BC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 16 + 25 - 40 \cdot \frac{1}{2} = 41 - 20 = 21
$$
所以 $ BC = \sqrt{21} $
题目6：
已知等差数列 $ \{a_n\} $ 中，首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，求第10项 $ a_{10} $ 和前10项和 $ S_{10} $。
答案：
$ a_{10} = 29 $，$ S_{10} = 155 $
解析：
等差数列通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
代入 $ n = 10 $：
$$
a_{10} = 2 + 9 \times 3 = 29
$$
前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
代入 $ n = 10 $：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(2 + 29) = 5 \times 31 = 155
$$
四、总结与建议
通过以上题目的解析可以看出，高二数学涉及的知识点广泛，包括不等式、对数、向量、三角函数、数列等。学生在学习过程中应注重基础知识的掌握，并加强题型训练，提升解题速度和准确率。
建议同学们在复习时：
- 多做典型例题，熟悉常见题型；
- 善于归纳解题思路，形成自己的解题方法；
- 遇到难题时不要急躁，逐步拆分问题，逐层解决。
希望本篇解析能对大家的学习有所帮助，祝大家在数学学习中不断进步！
