【2009年全国高中数学联赛试题及答案】2009年全国高中数学联合竞赛（简称“联赛”）于当年的9月13日举行，作为国内最具影响力的高中数学赛事之一，它不仅考验学生的数学基础与思维能力，也对解题技巧和逻辑推理提出了较高要求。本文将围绕该年度联赛的试题内容进行简要分析，并提供部分题目的解答思路，供广大师生参考。

一、考试概况

2009年的全国高中数学联赛分为两个阶段：第一试和第二试。第一试为选择题与填空题，主要考查学生的基础知识掌握情况；第二试则为解答题，题目难度更高，注重综合运用能力和创新思维。

本次考试整体难度适中，但部分题目设计巧妙，需要考生具备较强的分析能力和灵活应变的能力。题目涵盖了代数、几何、组合数学、数论等多个领域，充分体现了数学竞赛的综合性与挑战性。

二、试题特点分析

1. 代数部分

代数题目在此次竞赛中占据较大比重，涉及函数、方程、不等式等内容。其中一道关于二次函数极值的问题较为典型，考察了学生对函数图像性质的理解以及最值求解的方法。

2. 几何部分

几何题以平面几何为主，也有少量立体几何题目。这些题目往往需要构造辅助线或利用相似三角形、勾股定理等基础知识进行推导。其中一道涉及圆与直线关系的题目，要求学生具备较强的图形分析能力。

3. 数论与组合数学

数论类题目多集中在整除、同余、质数等方面，而组合数学则涉及排列组合、概率计算等内容。这类题目通常需要一定的抽象思维和逻辑推理能力，对于学生来说是一个不小的挑战。

三、典型题目解析（部分）

例题1：

设 $ a, b, c $ 是正实数，且满足 $ a + b + c = 1 $，求表达式

$$

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b}

$$

的最小值。

解析：

由于 $ a + b + c = 1 $，可将分母转化为 $ 1 - a $、$ 1 - b $、$ 1 - c $。利用不等式技巧，如柯西不等式或均值不等式，可以推导出该表达式的最小值为 $ \frac{3}{2} $，当且仅当 $ a = b = c = \frac{1}{3} $ 时取到。

例题2：

已知 $ f(x) = x^3 - 3x $，求函数 $ f(f(x)) $ 的所有实根之和。

解析：

首先计算 $ f(f(x)) = f(x^3 - 3x) = (x^3 - 3x)^3 - 3(x^3 - 3x) $。展开后得到一个六次多项式，根据多项式根的性质，其所有实根之和等于系数中 $ x^5 $ 项的相反数。通过计算可得该和为 0。

四、总结

2009年全国高中数学联赛试题整体结构合理，题型多样，既注重基础又强调应用，是对学生数学素养的一次全面检验。通过对历年试题的研究与练习，有助于提高学生的数学思维能力与解题技巧。希望本文能为正在备考或对数学竞赛感兴趣的同学提供一些参考和启发。

注： 以上内容为基于2009年全国高中数学联赛公开资料整理而成，旨在提供学习与研究参考。具体试题完整版请查阅官方发布资料。