【离散数学课后习题及答案】在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提升逻辑思维能力的重要手段。通过解答习题，学生不仅可以加深对概念的理解，还能掌握解题技巧和方法。本文将围绕“离散数学课后习题及答案”这一主题，提供一些典型的题目及其详细解析，帮助读者更好地理解和应用所学内容。
一、集合与关系
题目1：
设集合 $ A = \{1, 2, 3\} $，$ B = \{2, 3, 4\} $，求 $ A \cup B $ 和 $ A \cap B $。
解析：
- 并集 $ A \cup B $ 是由所有属于 $ A $ 或 $ B $ 的元素组成的集合，即 $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} $。
- 交集 $ A \cap B $ 是由同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素组成的集合，即 $ A \cap B = \{2, 3\} $。
二、命题逻辑
题目2：
判断下列命题的真假：
“如果今天下雨，那么地会湿。”
解析：
这是一个典型的条件语句 $ p \rightarrow q $，其中 $ p $ 表示“今天下雨”，$ q $ 表示“地会湿”。
根据逻辑规则，只有当 $ p $ 为真而 $ q $ 为假时，整个命题才是假的。否则，该命题为真。
因此，在大多数情况下，这个命题是成立的，但在某些特殊情境下（如地面被遮盖），也可能为假。
三、图论基础
题目3：
画出一个包含 5 个顶点和 7 条边的简单无向图，并说明其是否为连通图。
解析：
一个简单的无向图可以构造如下：
- 顶点：$ V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\} $
- 边：$ E = \{(v_1, v_2), (v_1, v_3), (v_2, v_3), (v_2, v_4), (v_3, v_4), (v_3, v_5), (v_4, v_5)\} $
该图中，任意两个顶点之间都存在路径，因此是一个连通图。
四、数论与整除性
题目4：
证明：若 $ a $ 和 $ b $ 都是偶数，则 $ a + b $ 也是偶数。
解析：
设 $ a = 2k $，$ b = 2m $，其中 $ k $ 和 $ m $ 是整数。
则 $ a + b = 2k + 2m = 2(k + m) $，显然 $ a + b $ 是 2 的倍数，因此是偶数。
五、组合数学
题目5：
从 6 个不同的球中选出 3 个，有多少种不同的选法？
解析：
这是一个组合问题，计算公式为 $ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} $。
代入数据得：
$$
C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = 20
$$
所以共有 20 种不同的选法。
总结
离散数学作为计算机科学、逻辑学和数学的基础学科，其内容广泛且抽象。通过不断练习课后习题，不仅能提高解题能力，还能增强对数学结构的理解。希望以上题目和解析能为你的学习提供帮助。在遇到困难时，不妨多查阅资料、与同学讨论，逐步提升自己的数学素养。
