【立体几何综合练习及答案】立体几何是高中数学中非常重要的一部分，它研究的是三维空间中的点、线、面及其相互关系。掌握好立体几何不仅有助于提升空间想象能力，还能在考试中取得良好成绩。本文将提供一份涵盖多种题型的立体几何综合练习题，并附上详细解答，帮助同学们巩固知识、查漏补缺。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个平面平行，则它们之间的距离处处相等
B. 一条直线与一个平面垂直，则这条直线一定与该平面内的所有直线垂直
C. 两个平面相交于一条直线，那么这两平面之间没有公共点
D. 空间中两条异面直线可以确定一个平面
答案：A
解析：两个平行平面之间的距离是固定的；B项错误，直线与平面内某条直线可能不垂直；C项错误，两平面相交时有无数个公共点；D项错误，异面直线不能确定一个平面。
2. 正方体的棱长为 $ a $，则其对角线长度为（ ）
A. $ a $
B. $ \sqrt{2}a $
C. $ \sqrt{3}a $
D. $ 2a $
答案：C
解析：正方体的空间对角线公式为 $ \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3}a $。
3. 若一个圆锥的高为 $ h $，底面半径为 $ r $，则其体积为（ ）
A. $ \frac{1}{3}\pi r^2 h $
B. $ \pi r^2 h $
C. $ \frac{1}{2}\pi r^2 h $
D. $ \frac{1}{4}\pi r^2 h $
答案：A
解析：圆锥体积公式为 $ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $。
4. 在空间直角坐标系中，点 $ A(1, 2, 3) $ 到原点的距离为（ ）
A. $ \sqrt{10} $
B. $ \sqrt{12} $
C. $ \sqrt{14} $
D. $ \sqrt{16} $
答案：C
解析：距离公式为 $ \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} $。
二、填空题（每空5分，共20分）
1. 一个正四面体的每个面都是__________三角形。
答案：等边
2. 一个长方体的长、宽、高分别为 $ 2 $、$ 3 $、$ 4 $，则其表面积为__________。
答案：52
3. 一个球的表面积为 $ 100\pi $，则其体积为__________。
答案：$\frac{500}{3}\pi$
4. 直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 垂直，则直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 内任意一条直线的关系是__________。
答案：垂直
三、解答题（每题10分，共40分）
1. 已知一个正三棱柱的底面边长为 $ 2 $，高为 $ 3 $，求其体积和侧面积。
解：
- 底面是等边三角形，面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3} $
- 体积 $ V = \text{底面积} \times 高 = \sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3} $
- 侧面积由三个矩形组成，每个面积为 $ 2 \times 3 = 6 $，总侧面积为 $ 3 \times 6 = 18 $
2. 在空间直角坐标系中，已知点 $ A(1, 2, 3) $、$ B(4, 5, 6) $，求向量 $ \vec{AB} $ 的模。
解：
向量 $ \vec{AB} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) $
模为 $ \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $
3. 已知一个圆柱的高为 $ 4 $，底面周长为 $ 6\pi $，求其侧面积和体积。
解：
- 底面周长 $ 2\pi r = 6\pi $，所以 $ r = 3 $
- 侧面积 $ = 2\pi r \times h = 6\pi \times 4 = 24\pi $
- 体积 $ = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi $
4. 在空间中，若直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 平行，且直线 $ m $ 在平面 $ \alpha $ 上，判断直线 $ l $ 与直线 $ m $ 的位置关系。
解：
由于直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 平行，而直线 $ m $ 在平面 $ \alpha $ 上，因此直线 $ l $ 与直线 $ m $ 可能是异面直线或平行，但不可能相交。
四、附加题（10分）
已知一个正四面体的棱长为 $ a $，求其外接球的半径。
解：
正四面体的外接球半径公式为 $ R = \frac{\sqrt{6}}{4}a $。
总结：
通过本套练习题，我们复习了立体几何中常见的知识点，包括空间几何体的性质、体积与表面积计算、空间向量与距离、直线与平面的位置关系等。希望同学们在做题过程中不断加深对立体几何的理解，提高解题能力。
